Это слово существительное, неодушевленное, женского рода, 1 склонения. Обозначает вежливое обращение к кому-либо с призывом выполнить что-либо. В устаревшем толковании письменное ходатайство, заявление по установленной форме.
Правильное написание
В соответствии с правилами орфографии русского языка слово пишется так:
ПРОСЬБА
Неверное написание
прозьба, где в корне пишется буква з,
Почему пишется именно так
Чтобы проверить правописание согласной, нужно изменить слово или подобрать однокоренное так, чтобы после нее появилась гласная буква: просить. В этом слове отчетливо слышна с, поэтому писать нужно именно ее: просьба.