Слово употребляется в повседневной речи буквально каждый день. Каждое из слов в связке относится к разным частям речи. Не частица, а смогу глагол, произошедший от начальной формы смочь. Используется в значении не получится сделать что-то.
Правильное написание
По орфографическим правилам русского языка слово пишется как:
НЕ_СМОГУ
Неверное написание
несмогу отсутствует пробел между частицей и глаголом.
Почему пишется именно так
По правилам русского языка частица не со всеми глаголами всегда пишется раздельно, кроме тех случаев, когда глагол не может употребляться без не, например, ненавидеть.