Данное слово является местоименным наречием. Оно обозначает последовательность действий, смену событий. Часто используется в повседневной речи.
Правильное написание
Согласно орфограмме русского языка, местоименное наречие пишется следующим образом:
ЗАТЕМ
Неверное написание
за тем, где за является предлогом и пишется раздельно.
Почему пишется именно так
Если слово затем в предложении играет роль наречия, то оно пишется слитно согласно следующему правилу русского языка: Слитно пишутся наречия, образованные путем слияния предлога и местоимения. Предлог ЗА + местоимение ТЕМ наречие ЗАТЕМ. В предложении наречие затем зависит от глагола и отвечает на вопрос когда? затем. Рассматриваемое нами слово можно заменить без потери смысла на следующие синонимы: потом, впоследствии, далее, вскоре. Наречие затем важно не путать с местоимением с предлогом за тем. В этом случае всегда можно поставить вопрос за каким? за тем.