В современном русском языке возможны две формы написания. Правильное написание зависит от лексического значения выбранного слова. Слово «будешь» является глаголом, начальная форма которого «быть». Глагол несовершенного вида, переходный, имеет 1 спряжение, употреблен в изъявительном наклонении, будущем времени, единственного числа, 2 лица. Слово «будишь» можно назвать омофоном предыдущего варианта. Также является глаголом, начальная форма которого «будить». Переходный, несовершенного вида глагол, имеет 2 спряжение. В данном случае он употреблен в форме изъявительного наклонения, настоящего времени, единственного числа, 2 лица.
Правильное написание
Правилами орфографии русского языка допускаются оба варианта:
БУДЕШЬ БУДИШЬ
Почему пишется именно так
Правописание слова обусловлено его лексическим значением и принадлежностью к 1 или 2 спряжению. В зависимости от спряжения выбирается гласная в личном окончании глагола. «Будешь» от н.ф. «быть» – в личном окончании глагола 1 спряжения пишется буква «е», «будишь» от н.ф. «будить» – в личном окончании глагола 2 спряжения пишется буква «и».